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概念:

在计算机学科中，存在多项式时间的算法的一类问题，称之为P类问题；而像梵塔问题、推销员旅行问题、（命题表达式）可满足问题这类，至今没有找到多项式时间算法解的一类问题，称之为NP类问题。
　　

拿推销员旅行问题为例，假设推销员亨利有向6个城市推销公司产品的任务，并规定了一个旅行预算。他手中有一张航班票价表，他要从A城开始走遍图中的6个城市后返回A城，并且不超出预算，请你帮他找出应走的路线。如果给出的预算宽裕，则任务很简单；如果预算比较紧张，你就得认真设计路线了。你得考虑每一种可能的次序，以使旅费最少。
　　
　　推销员旅行问题
　　
如果有3个城市A，B和C，互相之间都有往返的飞机，而且起始城市是任意的，则有6种访问每个城市的次序：ABC,ACB,,BAC,BCA,CAB,CBA。如果有4个城市，则有24种次序，可以用阶乘来表示：4！=4×3！=4×3×2×1=24；若有5个城市，则有5！=5×4！=120，类似的有6！=720等等。即使用计算机来计算，这种急剧增长的可能性的数目也远远超过计算资源的处理能力，对此，算法复杂性专家史蒂芬.库克（Stephen Cook）评论：”如果有100个城市，需要求出100！条路线的费用，没有哪一台计算机能够胜任这一任务。打个比方，让太阳系中所有的电子以它旋转的频率来计算，就算太阳烧尽了也算不完。问题的关键是某些东西在实践中行不通。”
　　
而NP问题中最困难的问题称之为NP完全问题，已经证明的包括：电话网络的最优几何设计、格子棋的最佳走法。根据库克定理，任意一个NP完全问题如果能够在多项式时间内解决，则所有的NP问题都能在多项式时间内解决，而至今这一问题仍无答案。

争议:

NP并不是NON-POLYNOMIAL，把NP说成是NON-POLYNOMIAL，是望文生义，读书不求甚解。事实上，如果你能够证明某个NP问题是个NON-POLYNOMIAL的问题，你就可以去领那七个百万美元数学大奖中间的一个了。

数学上著名的NP问题，完整的叫法是NP完全问题，也即“NP COMPLETE”问题，简单的写法，是 NP=P？的问题。问题就在这个问号上，到底是NP等於P，还是NP不等於P。证明其中之一，便可以拿百万美元大奖。这个奖还没有人拿到，也就是说，NP问题到底是Polynomial，还是Non-Polynomial，尚无定论。

P代表Polynomial倒是对的。NP就是Non-deterministic Polynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。

什么是非确定性问题呢？有些计算问题是确定性的，比如加减乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样的公式是没有的。再比如，大的合数分解质因数的问题，有没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式。

这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题的通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以在多项式时间（多项式时间： 运行时间最多是输入量的多项式函数）内算出来，就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案，都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题。

完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案，一个个检验下去，最终便能得到结果。但是这样算法的复杂程度，是指数关系，因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长，很快便变得不可计算了。人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们於是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在指数时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。

解决这个猜想，无非两种可能，一种是找到一个这样的算法，只要针对某个特定NP完全问题找到一个算法，所有这类问题都可以迎刃而解了，因为他们可以转化为同一个问题。另外的一种可能，就是这样的算法是不存在的。那么就要从数学理论上证明它为什么不存在。

前段时间轰动世界的一个数学成果，是几个印度人提出了一个新算法，可以在多项式时间内，证明某个数是或者不是质数，而在这之前，人们认为质数的证明，是个非多项式问题。可见，有些看来好象是非多项式的问题，其实是多项式问题，只是人们一时还不知道它的多项式解而已。

NP完全性问题

虽然是计算机系的学生，但自己对于什么是NP问题，什么是NPC问题也并不能很好的解答，就更不用说构造怎样的一种方式来证明一个

问题是不是NP问题了。但算法中涉及了很多这样的问题，压力之下，尽我所能弄懂了，把自己的理解记录下来。

P(Polynomial问题)。在计算机里面，对一个问题寻求一种多项式的算法是一个很好的解答。从理论上来说，如果一个问题能够有多翔

实的解法的话，就算是一个很好的算法了。这种问题总可以找到一个DTM（Deterministic Turing Machine）

NP(Nondeterministic Polynomial问题)。但是对于很多问题来说，他们找不到一个多项式的解决方法，他们只能对应一个NDTM

（Nondeterministic Turing Machine）来解决。可以这样想想：对于下一步的动作，他们也不知道确切的应该怎么办，只能“尝试”很多种方案

才能够得出一个答案，这显然是很费时的，这种问题未NP问题。

NPC(NP Complete)问题，可以这么认为，这种问题只有把解域里面的所有可能都穷举了之后才能得出答案，这样的问题是NP里面最难

的问题，这种问题就是NPC问题。

一般说来，如果要证明一个问题是NPC问题的话，可以拿已经是NPC问题的一个问题经过多项式时间的变化变成所需要证明的问题，那

么索要证明的问题就是一个NPC问题了。

NPC问题是一个问题族，如果里面任意一个问题有了多项式的解，那么所有的问题都可以有多项式的解。

电容器的基础知识及检测方法

一、DES算法

　　美国国家标准局1973年开始研究除国防部外的其它部门的计算机系统的数据加密标准，于1973年5月15日和1974年8月27日先后两次向公众发出了征求加密算法的公告。加密算法要达到的目的（通常称为DES
密码算法要求）主要为以下四点：

   
1977年1月，美国政府颁布：采纳IBM公司设计的方案作为非机密数据的正式数据加密标准（DES?Data Encryption Standard）。

　
　目前在国内，随着三金工程尤其是金卡工程的启动，DES算法在POS、ATM、磁卡及智能卡（IC卡）、加油站、高速公路收费站等领域被广泛应用，以此
来实现关键数据的保密，如信用卡持卡人的PIN的加密传输，IC卡与POS间的双向认证、金融交易数据包的MAC校验等，均用到DES算法。

　　DES算法的入口参数有三个：Key、Data、Mode。其中Key为8个字节共64位，是DES算法的工作密钥；Data也为8个字节64位，是要被加密或被解密的数据；Mode为DES的工作方式，有两种：加密或解密。
　　DES算法是这样工作的：如Mode为加密，则用Key 去把数据Data进行加密，
生成Data的密码形式（64位）作为DES的输出结果；如Mode为解密，则用Key去把密码形式的数据Data解密，还原为Data的明码形式（64
位）作为DES的输出结果。在通信网络的两端，双方约定一致的Key，在通信的源点用Key对核心数据进行DES加密，然后以密码形式在公共通信网（如电
话网）中传输到通信网络的终点，数据到达目的地后，用同样的Key对密码数据进行解密，便再现了明码形式的核心数据。这样，便保证了核心数据（如PIN、
MAC等）在公共通信网中传输的安全性和可靠性。

　　通过定期在通信网络的源端和目的端同时改用新的Key，便能更进一步提高数据的保密性，这正是现在金融交易网络的流行做法。
　　DES算法详述

　　DES算法把64位的明文输入块变为64位的密文输出块，它所使用的密钥也是64位，整个算法的主流程图如下：
其功能是把输入的64位数据块按位重新组合，并把输出分为L0、R0两部分，每部分各长32位，其置换规则见下表：

58,50,12,34,26,18,10,2,60,52,44,36,28,20,12,4,
　　62,54,46,38,30,22,14,6,64,56,48,40,32,24,16,8,

　　57,49,41,33,25,17, 9,1,59,51,43,35,27,19,11,3,
　　61,53,45,37,29,21,13,5,63,55,47,39,31,23,15,7,

　　即将输入的第58位换到第一位，第50位换到第2位，…，依此类推，最后一位是原来的第7位。L0、R0则是换位输出后的两部分，L0是输出的左32位，R0
是右32位，例：设置换前的输入值为D1D2D3……D64，则经过初始置换后的结果为：L0=D58D50…D8；R0=D57D49…D7。

　　经过16次迭代运算后。得到L16、R16，将此作为输入，进行逆置换，即得到密文输出。逆置换正好是初始置的逆运算，例如，第1位经过初始置换后，处于第40位，而通过逆置换，又将第40位换回到第1位，其逆置换规则如下表所示：

　　40,8,48,16,56,24,64,32,39,7,47,15,55,23,63,31,
　　38,6,46,14,54,22,62,30,37,5,45,13,53,21,61,29,

　　36,4,44,12,52,20,60,28,35,3,43,11,51,19,59,27,
　　34,2,42,10,50,18,58 26,33,1,41,
9,49,17,57,25,
放大换位表
　　32, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8, 9, 10,11,

　　12,13,12,13,14,15,16,17,16,17,18,19,20,21,20,21,
　　22,23,24,25,24,25,26,27,28,29,28,29,30,31,32,
1,
单纯换位表
　　16,7,20,21,29,12,28,17, 1,15,23,26, 5,18,31,10,
　　2,8,24,14,32,27,
3, 9,19,13,30, 6,22,11, 4,25,
　　在f(Ri,Ki)算法描述图中，S1,S2…S8为选择函数，其功能是把6bit数据变为4bit数据。下面给出选择函数Si(i=1,2……8)的功能表：

选择函数Si
S1:
　　14,4,13,1,2,15,11,8,3,10,6,12,5,9,0,7,
　　0,15,7,4,14,2,13,1,10,6,12,11,9,5,3,8,

　　4,1,14,8,13,6,2,11,15,12,9,7,3,10,5,0,
　　15,12,8,2,4,9,1,7,5,11,3,14,10,0,6,13,

S2:
　　15,1,8,14,6,11,3,4,9,7,2,13,12,0,5,10,
　　3,13,4,7,15,2,8,14,12,0,1,10,6,9,11,5,

　　0,14,7,11,10,4,13,1,5,8,12,6,9,3,2,15,
　　13,8,10,1,3,15,4,2,11,6,7,12,0,5,14,9,

S3:
　　10,0,9,14,6,3,15,5,1,13,12,7,11,4,2,8,
　　13,7,0,9,3,4,6,10,2,8,5,14,12,11,15,1,

　　13,6,4,9,8,15,3,0,11,1,2,12,5,10,14,7,
　　1,10,13,0,6,9,8,7,4,15,14,3,11,5,2,12,

S4:
　　7,13,14,3,0,6,9,10,1,2,8,5,11,12,4,15,
　　13,8,11,5,6,15,0,3,4,7,2,12,1,10,14,9,

　　10,6,9,0,12,11,7,13,15,1,3,14,5,2,8,4,
　　3,15,0,6,10,1,13,8,9,4,5,11,12,7,2,14,

S5:
　　2,12,4,1,7,10,11,6,8,5,3,15,13,0,14,9,
　　14,11,2,12,4,7,13,1,5,0,15,10,3,9,8,6,

　　4,2,1,11,10,13,7,8,15,9,12,5,6,3,0,14,
　　11,8,12,7,1,14,2,13,6,15,0,9,10,4,5,3,

S6:
　　12,1,10,15,9,2,6,8,0,13,3,4,14,7,5,11,
　　10,15,4,2,7,12,9,5,6,1,13,14,0,11,3,8,

　　9,14,15,5,2,8,12,3,7,0,4,10,1,13,11,6,
　　4,3,2,12,9,5,15,10,11,14,1,7,6,0,8,13,

S7:
　　4,11,2,14,15,0,8,13,3,12,9,7,5,10,6,1,
　　13,0,11,7,4,9,1,10,14,3,5,12,2,15,8,6,

　　1,4,11,13,12,3,7,14,10,15,6,8,0,5,9,2,
　　6,11,13,8,1,4,10,7,9,5,0,15,14,2,3,12,

S8:
　　13,2,8,4,6,15,11,1,10,9,3,14,5,0,12,7,
　　1,15,13,8,10,3,7,4,12,5,6,11,0,14,9,2,

　　7,11,4,1,9,12,14,2,0,6,10,13,15,3,5,8,
　　2,1,14,7,4,10,8,13,15,12,9,0,3,5,6,11,

在此以S1为例说明其功能，我们可以看到：在S1中，共有4行数据，命名为0，1、2、3行；每行有16列，命名为0、1、2、3，……，14、15列。

　　现设输入为： D＝D1D2D3D4D5D6
令：列＝D2D3D4D5
　　行＝D1D6
　　然后在S1表中查得对应的数，以4位二进制表示，此即为选择函数S1的输出。下面给出子密钥Ki(48bit)的生成算法
　　从子密钥Ki的生成算法描述图中我们可以看到：初始Key值为64位，但DES算法规定，其中第8、16、……64位是奇偶校验位，不参与
DES运算。故Key 实际可用位数便只有56位。即：经过缩小选择换位表1的变换后，Key 的位数由64
位变成了56位，此56位分为C0、D0两部分，各28位，然后分别进行第1次循环左移，得到C1、D1，将C1（28位）、D1（28位）合并得到56
位，再经过缩小选择换位2，从而便得到了密钥K0（48位）。依此类推，便可得到K1、K2、……、K15，不过需要注意的是，16次循环左移对
应的左移位数要依据下述规则进行：

循环左移位数
1,1,2,2,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,1
　　以上介绍了DES算法的加密过程。DES算法的解密过程是一样的，区别仅仅在于第一次迭代时用子密钥K15，第二次K14、……，最后一次用K0，算法本身并没有任何变化。

二、DES算法理论图解

DES的算法是对称的，既可用于加密又可用于解密。下图是它的算法粗框图。其具体运算过程有如下七步。

三、DES算法的应用误区　

　　DES算法具有极高安全性，到目前为止，除了用穷举搜索法对DES
算法进行攻击外，还没有发现更有效的办法。而56位长的密钥的穷举空间为256，这意味着如果一台计算机的速度是每一秒种检测一百万个密钥，则它搜索完全
部密钥就需要将近2285年的时间，可见，这是难以实现的，当然，随着科学技术的发展，当出现超高速计算机后，我们可考虑把DES密钥的长度再增长一些，
以此来达到更高的保密程度。
　　由上述DES算法介绍我们可以看到：DES算法中只用到64位密钥中的其中56位，而第8、16、24、……64位8个位并未参与DES运
算，这一点，向我们提出了一个应用上的要求，即DES的安全性是基于除了8，16，24，……64位外的其余56位的组合变化256才得以保证
的。因此，在实际应用中，我们应避开使用第8，16，24，……64位作为有效数据位，而使用其它的56位作为有效数据位，才能保证DES算法安
全可靠地发挥作用。如果不了解这一点，把密钥Key的8，16，24，…..
.64位作为有效数据使用，将不能保证DES加密数据的安全性，对运用DES来达到保密作用的系统产生数据被破译的危险，这正是DES算法在应用上的误
区，留下了被人攻击、被人破译的极大隐患。